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Un mwcgfrattale è un oggetto mwcwgeometrico dotato di mwdaomotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su mwdqscale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale. Si dice quindi geometria frattale, la geometria (mwdgnon euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel mwdwmoto browniano e nelle mweagalassiecite-ref-1[1].

Questa caratteristica è spesso chiamata mwfgauto similarità oppure autosomiglianza. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da mwfwBenoît Mandelbrot nel mwgalibro mwgqLes Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico", e deriva dal latino mwgwfractus (rotto, spezzato), così come il termine mwhafrazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla mwhqmatematica oggetti di mwhgdimensione anche non intera. Ad esempio, la mwhwcurva di Koch ha dimensione mwia log ⁡ ⁡ 4 log ⁡ ⁡ 3 ≈ ≈ 1,261 86 {\displaystyle {\frac {\log 4}{\log 3}}\approx 1{,}26186} .

I frattali compaiono spesso nello studio dei mwigsistemi dinamici, nella definizione di curve o insiemi e nella mwiwteoria del caos e sono spesso descritti in modo mwjaricorsivo da algoritmi o equazioni molto semplici, scritte con l'ausilio dei mwjqnumeri complessi. Ad esempio l'equazione che descrive l'mwjginsieme di Mandelbrot è la seguente:

mwkq a n + 1 = a n 2 + P 0 {\displaystyle a_{n+1}=a_{n}^{2}+P_{0}}

dove mwkw a n {\displaystyle a_{n}} e mwla P 0 {\displaystyle P_{0}} sono numeri complessi.

• Frattali e natura

• Auto-similitudine e definizione ricorsiva

• Caratteristiche

• Dimensione frattale

• Il caso

• Famiglie di frattali

• Frattali lineari

• Frattali non lineari

• Frattali aleatori

• Insieme di Mandelbrot

• Il metodo di Mandelbrot: frattali per iterazione di potenze di z {\displaystyle z}

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un mwnaalbero, soprattutto nell'abete, ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche in altri aspetti della natura, come nel profilo geomorfologico delle mwnqmontagne, nelle mwngnubi, nei mwnwcristalli di ghiaccio, in alcune mwoafoglie e mwoqfiori.cite-ref-2[2] Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.

«Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano delle corrispondenze con la struttura della mente umana, è per questo che la gente li trova così familiari. Questa familiarità è ancora un mistero e più si approfondisce l'argomento più il mistero aumenta»

(Benoît Mandelbrot)

A qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali.

Una sostanziale differenza tra un mwrwoggetto geometrico mwsaeuclideo ed un frattale è il modo in cui si costruisce. Infatti una mwsqcurva piana si costruisce generalmente sul piano cartesiano, utilizzando una mwsgfunzione del tipo:

mwtq f ( x ( t ) , y ( t ) ) = 0 {\displaystyle f(x(t),y(t))=0}

che descrive la posizione del punto sulla curva al variare del tempo mwtw t {\displaystyle t} .

Invece la costruzione dei frattali non si basa su un'equazione, ma su un mwuqalgoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre l'algoritmo non è mai applicato una volta sola, ma la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito: a ogni iterazione la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione) e, dopo un certo numero di iterazioni, l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche oppure l'mwughardware del computer non è più in grado di consentire ulteriori miglioramenti. Pertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può fermare dopo un congruo numero di iterazioni.

Alla base dell'auto-similarità sta una particolare trasformazione geometrica chiamata mwvaomotetia che permette di ingrandire o ridurre una figura lasciandone inalterata la forma. Un frattale è un ente geometrico che mantiene la stessa forma se ingrandito con una omotetia opportuna, detta mwvqomotetia interna.

La mwcqdimensione frattale, o mwcgdimensione di Hausdorff, è un parametro molto importante che determina il "grado di irregolarità" dell'oggetto frattale preso in esame.

Mandelbrot nel suo libro intitolato "mwdaGli oggetti frattali" pubblicato nel 1975 afferma l'esistenza di differenti metodi per misurare la dimensione di un frattale, introdotti quando il matematico si cimentò con la determinazione della lunghezza delle coste della Gran Bretagna. Tra questi, il seguente.

Si fa avanzare lungo la costa un compasso di apertura prescritta mwdg h {\displaystyle h} e ogni passo comincia dove finisce il precedente. Il valore dell'apertura mwdw h {\displaystyle h} moltiplicato per il numero di passi fornirà la lunghezza approssimativa mwea L ( h ) {\displaystyle L(h)} della costa; tuttavia rendendo l'apertura del compasso sempre più piccola i numeri di passi aumenteranno, l'apertura tenderà a zero e il numero dei passi tenderà all'infinito e la misura della lunghezza della costa tenderà all'esattezza. Per ottenere la dimensione di Hausdorff della costa, in modo euristico, si può scegliere una successione per l'apertura del compasso, che tenda a zero, allora è possibile rapportare tra loro il numero di passi tra due ampiezze consecutive (dato che il numero di passi del compasso cresce al diminuire dell'apertura, rapportiamo il numero di passi attuale con quello ottenuto nello step precedente). Al tendere a zero di mweq h {\displaystyle h} si ottiene la dimensione di Hausdorff della costa.

Mandelbrot afferma che la costa è stata modellata nel corso del tempo da molteplici influenze. La situazione si presenta così complicata perché in mwfageomorfologia non si conoscono le leggi che governano queste influenze. Quindi si può affermare che il caso occupa un ruolo rilevante e tuttora l'unico strumento capace di fornire una soluzione al problema è la statistica.

Il caso può generare irregolarità ed è capace di generare un'irregolarità talmente intensa come quella delle coste, anzi in molte situazioni è difficile impedire al caso di andare al di là delle aspettative.

Il caso non deve essere sottovalutato nello studio degli oggetti frattali in quanto l'omotetia interna fa sì che il caso abbia precisamente la stessa importanza a qualsiasi scala. Pertanto gli oggetti frattali sono inseriti nel contesto dei mwfwsistemi dinamici caotici.

Nel corso della storia molti matematici sono arrivati alle loro scoperte inaspettatamente. Lo stesso Mandelbrot afferma di essere arrivato alle sue scoperte per puro caso. Un giorno egli si trovò nella biblioteca dell'mwgqIBM dove molti libri che nessuno aveva mai letto stavano per essere spediti al macero. Benoit aprì una rivista a caso e lesse il nome del meteorologo mwggLewis Fry Richardson. Questo nome era già noto al matematico polacco per gli studi che stava effettuando sulla teoria della mwgwturbolenza. Richardson era uno studioso bizzarro ed eccentrico che era solito porsi domande che nessuno altro avrebbe mai formulato. Queste sue stramberie risultarono nell'anticipare scoperte che alcuni studiosi realizzarono nei decenni successivi.

Nel libro Richardson si preoccupò di misurare la lunghezza delle linee costiere su scale differenti. Mandelbrot fotocopiò il disegno che descriveva queste misure e lasciò il libro dove si trovava per riprenderlo il giorno seguente, ma il libro sparì. Il disegno servì al matematico per formulare la teoria dei frattali perché faceva riferimento a qualcosa che noi tutti conosciamo, le coste. Mandelbrot si rese così conto che tutti gli studi effettuati da lui stesso avevano qualcosa in comune per quanto spaziassero tra discipline completamente differenti. Il modello di partenza era lo stesso: Mandelbrot si preoccupò di definire l'apparente caos insito in essi.

Esistono diverse famiglie di frattali, suddivise in base al grado dei termini dell'equazione generatrice contenuti nell'algoritmo:

• Frattali lineari

• Frattali non lineari

• Frattali aleatori

I mwkgfrattali lineari sono quelli la cui equazione generatrice contiene solo termini del primo ordine e quindi l'mwkwalgoritmo è lineare.

Questi frattali possono essere studiati con l'ausilio di un immaginario duplicatore di figure: la mwlqfotocopiatrice a riduzioni, una mwlgmacchina metaforica ideata da John E. Hutchinson, un matematico della Australian National University a mwmaCanberra.

Questa macchina funziona più o meno come una normale mwmgfotocopiatrice con variatore di riduzione, ma ne differisce per il fatto di avere più mwmwlenti di riduzione, ciascuna delle quali può copiare l'originale collocato sulla macchina.

Le lenti possono essere predisposte secondo diversi fattori di riduzione e le immagini ridotte possono essere collocate in qualsiasi mwngposizione. La figura può quindi essere spostata, allungata, accorciata, riflessa, ruotata o trasformata in tutti i modi, purché le varie trasformazioni risultino essere delle mwnwomotetie e i mwoasegmenti di retta dell'originale rimangano dunque segmenti di retta.

Esistono diversi tipi di mwowfrattali non lineari, la cui mwpaequazione generatrice è di ordine superiore a mwpq 1 {\displaystyle 1} .

Uno di questi si basa sulla mwpwtrasformazione quadratica ed è stato oggetto di attenzione particolare, poiché produce una grande ricchezza di forme geometriche a partire da un algoritmo piuttosto semplice ed è strettamente collegato all'odierna mwqateoria del caos.

La teoria su cui si basa questo frattale quadratico fu descritta per la prima volta nel 1918 dal matematico francese mwqgGaston Julia, che si trovava allora in un ospedale militare, convalescente delle ferite riportate durante la mwqwprima guerra mondiale. Tanto le sue ricerche quanto quelle contemporanee del suo accanito rivale mwraPierre Fatou, e basate sul comportamento della trasformazione mwrq g ( z ) = z 2 + c {\displaystyle g(z)=z^{2}+c} , furono presto dimenticate fino alla rielaborazione da parte di mwrgBenoît Mandelbrot.

L'impresa intellettuale di Julia e Fatou è notevole perché, non esistendo a quel tempo calcolatori elettronici, essi potevano contare solamente sulle proprie capacità di astrazione.

I frattali finora esaminati sono deterministici. Benché i processi aleatori, come per esempio il lancio di un dado, possano produrre immagini frattali, essi non hanno alcun effetto sulla forma frattale finale. La situazione è ben diversa per un'altra classe di frattali, i cosiddetti mwsgfrattali aleatori. Per generare un frattale di questo tipo si può cominciare con un mwswtriangolo giacente su un piano arbitrario.

I punti medi di ciascun lato del triangolo sono collegati tra loro e il triangolo è così diviso in quattro triangoli più piccoli. Ciascun mwtqpunto medio è poi alzato o abbassato di una quantità scelta a caso. Lo stesso procedimento è applicato a ciascuno dei triangoli più piccoli e il processo è ripetuto all'infinito. All'aumentare del numero delle iterazioni, comincia a formarsi una superficie sempre più ricca di particolari. In questo «metodo dello spostamento dei punti medi», l'entità aleatoria dello spostamento dei punti medi è retta da una legge di distribuzione che può essere modificata fino a ottenere una buona approssimazione della superficie di cui si vuol costruire il modello.

Per un modello di una superficie relativamente liscia, le trasformazioni usate dovrebbero prevedere una regola per cui gli spostamenti dei punti medi diventino piccolissimi già dopo poche iterazioni. Una regola del genere aggiunge solo piccole prominenze sullo sviluppo complessivo.

Per rappresentare invece una superficie accidentata, come ad esempio la mwuqtopografia di una mwugcatena montuosa, è meglio far diminuire di poco l'entità degli spostamenti a ogni iterazione.

Questo metodo per costruire superfici ha molte applicazioni. È stato impiegato per ottenere modelli dell'mwvaerosione del suolo e per analizzare le registrazioni sismiche al fine di capire i cambiamenti nelle zone di mwvqfaglia. Questo concetto è stato usato da Richard E. Voss, collega di Mandelbrot al Thomas J. Watson Research Center, per generare immagini molto realistiche di pianeti, satelliti, nubi e montagne.

Lmwxg'mwxwinsieme di Mandelbrot è l'insieme dei mwya c ∈ ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } tali che, posto mwyq z 0 = 0 {\displaystyle z_{0}=0} , la successione mwyg z n + 1 = z n 2 + c {\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c} è limitata.

Il lavoro di gran lunga più riuscito in questo campo è quello sul cosiddetto mwzapotenziale elettrostatico dell'insieme di Mandelbrot.

Si immagini che l'insieme sia dotato di mwzgcarica elettrica. Si potrebbe misurare il mwzwpotenziale elettrico collocando una carica puntiforme all'esterno dell'insieme e misurando la mw0aforza elettrostatica agente su quel punto. Risulta che il calcolo del potenziale è strettamente legato alla successione mw0q 0 , c , c 2 + c , ( c 2 + c ) 2 + c , … … {\displaystyle 0,c,c^{2}+c,(c^{2}+c)^{2}+c,\dots } , usata per stabilire se un mw0g c {\displaystyle c} appartiene o no all'insieme di Mandelbrot.

La proprietà forse più affascinante dell'insieme di Mandelbrot è che esso può essere considerato un «deposito» di immagini di efficienza infinita: oltre a suddividere gli insiemi di Julia in connessi e non connessi, l'insieme di Mandelbrot funge anche da indice diretto e grafico di un numero infinito di mw1ainsiemi di Julia.

Ingrandendo l'insieme di Mandelbrot intorno a un punto mw1g c {\displaystyle c} situato sulla sua frontiera, appaiono forme che sono anche gli elementi costitutivi dell'insieme di Julia corrispondente al punto mw1w c {\displaystyle c} . Tuttavia questa scoperta non è stata ancora rivestita di tutto il necessario rigore matematico.

Tan Lei, ricercatore dell'mw2qUniversità di Lione, ha dimostrato che l'insieme di Mandelbrot si comporta in questo modo per la maggior parte dei valori del parametro mw2g c {\displaystyle c} situati esattamente sulla frontiera dell'insieme.

Di seguito sono elencati una serie di frattali generati con il mw3gmetodo Mandelbrot, cioè iterando mw3w z = z m + c {\displaystyle z=z^{m}+c} , per un mw4a m {\displaystyle m} fissato. Tutti i punti del piano complesso mw4q c = ( c x , c y ) {\displaystyle c=(c_{x},c_{y})} vengono considerati e, se non diversamente specificato, tutte le iterazioni iniziano dal punto mw4g z 0 = 0 {\displaystyle z_{0}=0} . Quando l'iterazione converge l'immagine è colorata di giallo pallido. La divergenza all'infinito è colorata con un colore che va dal nero al blu. Il caso mw4w m = 2 {\displaystyle m=2} , cioè mw5a z = z 2 + c {\displaystyle z=z^{2}+c} è chiamato mw5qinsieme di Mandelbrot.

Esempi dei frattali di tipo Mandelbrot mw5w z = z m + c {\displaystyle z=z^{m}+c} .

Esempi dei frattali di tipo Mandelbrot mwaek z = z m + 1 c {\displaystyle z=z^{m}+{\frac {1}{c}}} .

Altri frattali di Mandelbrot.

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• mwbn0Arte frattale

• mwbn8Auto similarità

• mwboeBenoît Mandelbrot

• mwbomBurning ship

• mwbouCosmologia frattale

• mwbocCurva del drago di Heighway

• mwbokmwbooElectric Sheep generatore di frattali

• mwbowFigura di Lichtenberg

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• mwbpqInsieme di Mandelbrot

• mwbpyLista di frattali per dimensione di Hausdorff

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• mwbryEsempio frattale: Mandelbox, su youtube.com.